ANALISÍS Y SIMILITUD ENTRE LOS CAPÍTULOS 2, 3 Y CAPÍTULOS 4, 5

ANALISÍS Y SIMILITUD ENTRE LOS CAPÍTULOS 2, 3 Y CAPÍTULOS 4, 5
El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no sólo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.
Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto del plano complejo C y con valores en C, que además son complejo-diferenciables en cada punto. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor.
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
• La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
• Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
• Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
“Ya que la diferenciación compleja es lineal y cumple las reglas del producto, del cociente y de la cadena, se tendrá que las sumas, productos, y cobién holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será allá donde el denominador sea distinto de cero.
Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia serie de Taylor; esta serie convergerá sobre cada disco abierto que se encuentre dentro del dominio U. La serie de Taylor puede converger en un disco más grande; por ejemplo, la serie de Taylor para el logaritmo converge sobre cada disco que no contenga al 0, incluso en las cercanías de la línea real negativa. Ver demostración de que las funciones holomorfas son analíticas.
Si se identifica C con R², entonces las funciones holomorfas son las mismas que aquellas funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son un par de ecuaciones diferenciales parciales.
Las funciones holomorfas son conformes cerca de los puntos con derivada distinta de cero, en el sentido de que preservan ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.
La fórmula integral de Cauchy dice que los valores, dentro de un disco, de una función holomorfa, quedan determinados por los valores de la función en la frontera del disco”.